У рівнянні гармонійного коливання x acos wt. Рівняння гармонійних коливань

§ 6. МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯОсновні формули

Рівняння гармонійних коливань

де х -зміщення коливається точки від положення рівноваги; t- Час; А,ω, φ- відповідно амплітуда, кутова частота, початкова фаза коливань; - фаза коливань у момент t.

Кутова частота коливань

де ν і Т - частота та період коливань.

Швидкість точки, що здійснює гармонічні коливання,

Прискорення при гармонійному коливанні

Амплітуда Арезультуючого коливання, отриманого при додаванні двох коливань з однаковими частотами, що відбуваються по одній прямій, визначається за формулою

де a 1 і А 2 - амплітуди складових коливань; ? 1 і ? 2 - їх початкові фази.

Початкова фаза φ результуючого коливання може бути знайдена з формули

Частота биття, що виникають при додаванні двох коливань, що відбуваються по одній прямій з різними, але близькими за значенням частотами 1 і 2 ,

Рівняння траєкторії точки, що бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях з амплітудами A 1 і A 2 і початковими фазами 1 і 2 ,

Якщо початкові фази φ 1 і φ 2 складових коливань однакові, то рівняння траєкторії набуває вигляду

т. е. точка рухається прямою.

У тому випадку, якщо різниця фаз , рівняння набуває вигляду

т. е. точка рухається еліпсом.

Диференціальне рівняння гармонійних коливань матеріальної точки

, або де m - маса точки; k- коефіцієнт квазіпружної сили ( k=тω 2).

Повна енергія матеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання,

Період коливань тіла, підвішеного на пружині (пружинний маятник),

де m- маса тіла; k- жорсткість пружини. Формула справедлива для пружних коливань у межах, у яких виконується закон Гука (при малій масі пружини проти масою тіла).

Період коливань математичного маятника

де l- Довжина маятника; g- прискорення вільного падіння. Період коливань фізичного маятника

де J- момент інерції тіла, що коливається відносно осі

коливань; а- відстань центру мас маятника від осі коливань;

Наведена довжина фізичного маятника.

Наведені формули є точними для випадку нескінченно малих амплітуд. При кінцевих амплітудах ці формули дають лише наближені результати. При амплітудах не більша помилка у значенні періоду не перевищує 1 %.

Період крутильних коливань тіла, підвішеного на пружній нитці,

де J- момент інерції тіла щодо осі, що збігається з пружною ниткою; k- жорсткість пружної нитки, що дорівнює відношенню пружного моменту, що виникає при закручуванні нитки, до кута, на який закручується нитка.

Диференціальне рівняння загасаючих коливань , або ,

де r- Коефіцієнт опору; δ - коефіцієнт загасання: ;ω 0 - власна кутова частота коливань *

Рівняння загасаючих коливань

де A(t)- амплітуда загасаючих коливань у момент t;ω - їхня кутова частота.

Кутова частота загасаючих коливань

Про Залежність амплітуди загасаючих коливань від часу

I

де А 0 - амплітуда коливань у момент t=0.

Логарифмічний декремент коливань

де A(t)і A (t+T)- амплітуди двох послідовних коливань, віддалених у часі друг від друга період.

Диференційне рівняння вимушених коливань

де - зовнішня періодична сила, що діє матеріальну точку, що коливається, і викликає вимушені коливання; F 0 - її амплітудне значення;

Амплітуда вимушених коливань

Резонансна частота та резонансна амплітуда і

Приклади розв'язання задач

приклад 1.Крапка здійснює коливання згідно із законом x(t)=, де А = 2див. Визначити початкову фазу φ, якщо

x(0)=см і х , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента t=0.

Рішення. Скористаємося рівнянням руху та висловимо зміщення у момент t=0 через початкову фазу:

Звідси знайдемо початкову фазу:

* У наведених раніше формулах гармонійних коливань та сама величина позначалася просто ω (без індексу 0).

Підставимо в цей вираз задані значення x(0) та А:φ= = . Значення аргументу задовольняють два значення кута:

Для того щоб вирішити, яке з цих значень кута φ задовольняє ще й умові, знайдемо спочатку:

Підставивши в цей вираз значення t=0 і по черзі значення початкових фаз і знайдемо

Т як завжди A>0 і ω>0, то умові задовольняє лише перше значення початкової фази. Таким чином, шукана початкова фаза

За знайденим значенням φ побудуємо векторну діаграму (рис. 6.1). приклад 2.Матеріальна точка масою т=5 г здійснює гармонічні коливання з частотою ν = 0,5 Гц. Амплітуда коливань A=3 см. Визначити: 1) швидкість υ точки в момент часу, коли зміщення х== 1,5 см; 2) максимальну силу F max , що діє на точку; 3) Мал. 6.1 повну енергію Еточки, що коливається.

а формулу швидкості отримаємо, взявши першу похідну за часом від усунення:

Щоб виразити швидкість через усунення, треба виключити з формул (1) і (2) час. Для цього зведемо обидва рівняння у квадрат, розділимо перше на А 2 , друге на A 2 ω 2 і складемо:

, або

Вирішивши останнє рівняння щодо υ , знайдемо

Виконавши обчислення за цією формулою, отримаємо

Знак плюс відповідає випадку, коли напрямок швидкості збігається з позитивним напрямком осі х,знак мінус - коли напрямок швидкості збігається з негативним напрямком осі х.

Усунення при гармонійному коливанні крім рівняння (1) може бути визначене також рівнянням

Повторивши з цим рівнянням таке саме рішення, отримаємо ту саму відповідь.

2. Силу, що діє на точку, знайдемо за другим законом Ньютона:

де а -прискорення точки, яку отримаємо, взявши похідну за часом від швидкості:

Підставивши вираз прискорення у формулу (3), отримаємо

Звідси максимальне значення сили

Підставивши в це рівняння значення величин π, ν, ті A,знайдемо

3. Повна енергія точки, що коливається, є сума кінетичної та потенційної енергій, обчислених для будь-якого моменту часу.

Найпростіше обчислити повну енергію у момент, коли кінетична енергія досягає максимального значення. У цей момент потенційна енергія дорівнює нулю. Тому повна енергія Eколивальної точки дорівнює максимальної кінетичної енергії

Максимальну швидкість визначимо з формули (2), поклавши : . Підставивши вираз швидкості у формулу (4), знайдемо

Підставивши значення величин у цю формулу і здійснивши обчислення, отримаємо

чи мкДж.

приклад 3.На кінцях тонкого стрижня завдовжки l= 1 м та масою m 3 = 400 г укріплені кульки малих розмірів масами m 1 = 200 г і m 2 = 300г. Стрижень коливається біля горизонтальної осі, перпен-

дикулярну стрижню і проходить через його середину (точка О на рис. 6.2). Визначити період Тколивань, скоєних стрижнем.

Рішення. Період коливань фізичного маятника, яким є стрижень із кульками, визначається співвідношенням

де J- т -його маса; l З - відстань від центру мас маятника до осі.

Момент інерції даного маятника дорівнює сумі моментів інерції кульок J 1 та J 2 та стрижня J 3:

Приймаючи кульки за матеріальні точки, висловимо моменти їхньої інерції:

Так як вісь проходить через середину стрижня, його момент інерції щодо цієї осі J 3 = =. Підставивши отримані вирази J 1 , J 2 і J 3 у формулу (2), знайдемо загальний момент інерції фізичного маятника:

Зробивши обчислення за цією формулою, знайдемо

Мал. 6.2 Маса маятника складається з мас кульок та маси стрижня:

Відстань l З центру мас маятника від осі коливань знайдемо, з наступних міркувань. Якщо вісь хнаправити вздовж стрижня та початок координат поєднати з точкою О,та шукана відстань lодно координаті центру мас маятника, тобто.

Підставивши значення величин m 1 , m 2 , m, lі зробивши обчислення, знайдемо

Зробивши розрахунки за формулою (1), отримаємо період коливань фізичного маятника:

приклад 4.Фізичний маятник є стрижнем довжиною l= 1 м та масою 3 т 1 зприкріпленим до одного з його кінців обручем діаметром та масою т 1 . Горизонтальна вісь Oz

маятника проходить через середину стрижня перпендикулярно до нього (рис. 6.3). Визначити період Тколивань такого маятника.

Рішення. Період коливань фізичного маятника визначається за формулою

(1)

де J- момент інерції маятника щодо осі коливань; т -його маса; l C - відстань від центру мас маятника до осі коливань.

Момент інерції маятника дорівнює сумі моментів інерції стрижня J 1 та обруча J 2:

(2).

Момент інерції стрижня щодо осі, перпендикулярної стрижню і проходить через його центр мас, визначається за формулою . В даному випадку т= 3т 1 та

Момент інерції обруча знайдемо, скориставшись теоремою Штейнера де J- момент інерції щодо довільної осі; J 0 - момент інерції щодо осі, що проходить через центр мас паралельно заданої осі; а -відстань між вказаними осями. Застосувавши цю формулу до обруча, отримаємо

Підставивши вирази J 1 та J 2 у формулу (2), знайдемо момент інерції маятника щодо осі обертання:

Відстань l З від осі маятника до його центру мас одно

Підставивши у формулу (1) вирази J, lз і маси маятника, знайдемо період його коливань:

Після обчислення за цією формулою отримаємо T= 2,17 с.

Приклад 5.Складаються два коливання однакового напрямку, що виражаються рівняннями; х 2 = =, де А 1 = 1 см, A 2 = 2 см, с, с, ω = =. 1. Визначити початкові фазиφ 1 і φ 2 складових коле-

баній. 2. Знайти амплітуду Ата початкову фазу φ результуючого коливання. Написати рівняння результуючого коливання.

Рішення. 1. Рівняння гармонійного коливаннямає вигляд

Перетворимо рівняння, задані за умови завдання, до такого виду:

З порівняння виразів (2) з рівністю (1) знаходимо початкові фази першого і другого коливань:

Радий і радий.

2. Для визначення амплітуди Арезультуючого коливання зручно скористатися векторною діаграмою, представленою на Мал. 6.4. Відповідно до теореми косінусів, отримаємо

де - різниця фаз складових коливань. , то, підставляючи знайдені значення 2 і 1 отримаємо радий.

Підставимо значення А 1 , А 2 і в формулу(3) і зробимо обчислення:

A= 2,65 см.

Тангенс початкової фази φ результуючого коливання визначимо безпосередньо з рис. 6.4: звідки-та початкова фаза

Найпростішим видом коливань є гармонійні коливання- коливання, у яких зміщення точки від положення рівноваги змінюється з часом за законом синуса чи косинуса.

Так, при рівномірному обертанні кульки по колу його проекція (тінь у паралельних променях світла) здійснює на вертикальному екрані (рис. 1) гармонійний коливальний рух.

Усунення положення рівноваги при гармонійних коливаннях описується рівнянням (його називають кінематичним законом гармонійного руху) виду:

де х - змішання - величина, що характеризує положення коливається точки в момент часу t щодо положення рівноваги і вимірювана відстанню від положення рівноваги до положення точки в заданий момент часу; А - амплітуда коливань - максимальне усунення тіла з положення рівноваги; Т – період коливань – час здійснення одного повного коливання; тобто. найменший проміжок часу, після якого повторюються значення фізичних величин, що характеризують коливання; - Початкова фаза;

Фаза коливання на момент часу t. Фаза коливань - це аргумент періодичної функції, який за заданої амплітуді коливань визначає стан коливальної системи (зміщення, швидкість, прискорення) тіла у час.

Якщо в початковий момент часу точка, що коливається, максимально зміщена від положення рівноваги, то , а зміщення точки від положення рівноваги змінюється за законом

Якщо точка, що коливається при перебуває в положенні стійкої рівноваги, то зміщення точки від положення рівноваги змінюється за законом

Величину V, зворотну періоду і рівну числу повних коливань, що здійснюються за 1 с, називають частотою коливань:

Якщо за час t тіло здійснює N повних коливань, то

Величину , Що показує, скільки коливань робить тіло за с, називають циклічною (круговою) частотою.

Кінематичний закон гармонійного руху можна записати у вигляді:

Графічно залежність зміщення точки, що коливається, від часу зображується косінусоїдою (або синусоїдою).

На малюнку 2, а представлений графік залежності від часу зміщення точки, що коливається від положення рівноваги для випадку .

З'ясуємо, як змінюється швидкість точки, що коливається, з часом. Для цього знайдемо похідну часу від цього виразу:

де - Амплітуда проекції швидкості на вісь х.

Ця формула показує, що при гармонійних коливаннях проекція швидкості тіла на вісь х змінюється теж за гармонічним законом з тією ж частотою, з іншою амплітудою і випереджає по фазі змішування (рис. 2, б).

Для з'ясування залежності прискорення знайдемо похідну часу від проекції швидкості:

де - Амплітуда проекції прискорення на вісь х.

При гармонійних коливаннях проекція прискорення випереджає зміщення фазою на к (рис. 2, в).

« Фізика – 11 клас»

Прискорення – друга похідна координати за часом.

Миттєва швидкість точки – це похідна координати точки за часом.
Прискорення точки - це похідна її за часом, або друга похідна координати за часом.
Тому рівняння руху маятника можна записати так:

де х" - друга похідна координати за часом.

При вільних коливаннях координата хзмінюється згодом отже друга похідна координати за часом прямо пропорційна самій координаті і протилежна їй за знаком.

Гармонічні коливання

З математики: другі похідні синуса і косинуса за їх аргументом пропорційні самим функціям, взятим із протилежним знаком, і жодні інші функції такої властивості не мають.
Тому:
Координата тіла, що здійснює вільні коливання, змінюється з часом за законом синуса чи косинуса.

Періодичні змінифізичної величини в залежності від часу, що відбуваються за законом синуса чи косинуса, називаються гармонійними коливаннями.

Амплітуда коливань

Амплітудоюгармонійних коливань називається модуль найбільшого усунення тіла від положення рівноваги.

Амплітуда визначається початковими умовами, а точніше енергією, що повідомляється тілу.

Графік залежності координати тіла від часу є косинусоїдою.

х = x m cos ω 0 t

Тоді рівняння руху, що описує вільні коливання маятника:

Період та частота гармонійних коливань.

При коливаннях руху тіла періодично повторюються.
Проміжок часу Т, за який система здійснює один повний цикл коливань, називається періодом коливань.

Частота коливань – це кількість коливань в одиницю часу.
Якщо одне коливання відбувається за час Т, то кількість коливань за секунду

У Міжнародній системі одиниць (СІ) одиниця частоти називається герцем(Гц) на честь німецького фізика Г. Герца.

Число коливань за 2π дорівнює:

Величина 0 - це циклічна (або кругова) частота коливань.
Через проміжок часу, що дорівнює одному періоду, коливання повторюються.

Частоту вільних коливань називають власною частотоюколивальної системи.
Часто для стислості циклічну частоту називають просто частотою.

Залежність частоти та періоду вільних коливань від властивостей системи.

1.для пружинного маятника

Власна частота коливань пружинного маятника дорівнює:

Вона тим більша, чим більша жорсткість пружини k, і тим менша, чим більша маса тіла m.
Жорстка пружина повідомляє тілу більше прискорення, швидше змінює швидкість тіла, а чим тіло масивніше, тим повільніше воно змінює швидкість під впливом сили.

Період коливань дорівнює:

Період коливань пружинного маятника залежить від амплітуди коливань.

2.для ниткового маятника

Власна частота коливань математичного маятника при малих кутах відхилення нитки від вертикалі залежить від довжини маятника та прискорення вільного падіння:

Період цих коливань дорівнює

Період коливань ниткового маятника при малих кутах відхилення залежить від амплітуди коливань.

Період коливань зростає із збільшенням довжини маятника. Від маси маятника не залежить.

Чим менше g, тим більше період коливань маятника і, отже, тим повільніше йде годинник з маятником. Так, годинник з маятником у вигляді вантажу на стрижні відстане за добу майже на 3 с, якщо його підняти з підвалу на верхній поверх Московського університету (висота 200 м). І це лише за рахунок зменшення прискорення вільного падіння із висотою.

Коливанняминазиваються рухи або процеси, які характеризуються певною повторюваністю в часі. Коливальні процеси широко поширені в природі і техніці, наприклад коливання маятника годинника, змінний електричний струм і т. д. При коливальному русі маятника змінюється координата його центру мас, у разі змінного струму коливаються напруга і струм в ланцюзі. Фізична природа коливань може бути різною, тому розрізняють коливання механічні, електро-магнітні та ін Однак різні коливальні процеси описуються однаковими характеристиками і однаковими рівняннями. Звідси випливає доцільність єдиного підходудо вивчення коливань різної фізичної природи.

Коливання називаються вільними, якщо вони відбуваються лише під впливом внутрішніх сил, що діють між елементами системи, після того, як система виведена із положення рівноваги зовнішніми силами та надана сама собі. Вільні коливання завжди загасаючі коливання , Бо реальних системах неминучі втрати енергії. В ідеалізованому випадку системи без втрат енергії вільні коливання (тривалі як завгодно довго) називаються власними.

Найпростішим типом вільних незагасних коливань є гармонічні коливання -коливання, у яких коливающаяся величина змінюється з часом за законом синуса (косинусу). Коливання, що зустрічаються в природі та техніці, часто мають характер, близький до гармонійного.

Гармонічні коливання описуються рівнянням, яке називається рівнянням гармонійних коливань:

де А- амплітуда коливань, максимальне значення коливається величини х; - Кругова (циклічна) частота власних коливань; - Початкова фаза коливання в момент часу t= 0; - фаза коливання у момент часу t.Фаза коливання визначає значення коливається в даний момент часу. Оскільки косинус змінюється не більше від +1 до -1, то хможе набувати значень від + Aдо - А.

Час T, за яке система здійснює одне повне коливання, називається періодом коливань. За час Тфаза коливання отримує збільшення 2 π , тобто.

Звідки. (14.2)

Величина, зворотна до періоду коливань

т. е. число повних коливань, що здійснюються в одиницю часу, називається частотою коливань. Порівнюючи (14.2) та (14.3) отримаємо

Одиниця частоти - герц (Гц): 1 Гц - частота, при якій за 1с відбувається одне повне коливання.

Системи, у яких можуть відбуватися вільні коливання, називаються осциляторами . Якими ж властивостями повинна мати система, щоб у ній могли виникнути вільні коливання? Механічна система повинна мати становище стійкої рівноваги, при виході з якого з'являється повертаюча сила, спрямована до положення рівноваги. Цьому положенню відповідають, як відомо, мінімум потенційної енергії системи. Розглянемо кілька коливальних систем, що задовольняють перелічені властивості.

Рівняння гармонійного коливання

Рівняння гармонійного коливання встановлює залежність координати тіла від часу

Графік косинуса на початковий момент має максимальне значення, а графік синуса має у початковий момент нульове значення. Якщо коливання починаємо досліджувати із положення рівноваги, то коливання повторюватиме синусоїду. Якщо коливання починаємо розглядати з максимального відхилення, то коливання опише косинус. Або таке коливання можна описати формулою синуса з початковою фазою.

Зміна швидкості та прискорення при гармонійному коливанні

Не лише координата тіла змінюється згодом згідно із законом синуса чи косинуса. Але такі величини, як сила , швидкість і прискорення , теж змінюються аналогічно. Сила і прискорення максимальні, коли тіло, що коливається, знаходиться в крайніх положеннях, де зсув максимально, і рівні нулю, коли тіло проходить через положення рівноваги. Швидкість, навпаки, у крайніх положеннях дорівнює нулю, а при проходженні тілом положення рівноваги досягає максимального значення.

Якщо коливання описувати згідно із законом косинуса

Якщо коливання описувати згідно із законом синуса

Максимальні значення швидкості та прискорення

Проаналізувавши рівняння залежності v(t) і a(t), можна здогадатися, що максимальні значення швидкість і прискорення набувають у тому випадку, коли тригонометричний множник дорівнює 1 або -1. Визначаються за формулою