А1 у рівнянні гармонійного коливання. У рівнянні гармонійного коливання величина, що стоїть під знаком косинуса, називається

Мають математичний вираз. Їх властивості характеризує сукупність тригонометричних рівнянь, складність яких визначається складністю самого коливального процесу, властивостями системи та середовищем, в якому вони відбуваються, тобто зовнішніми факторами, що впливають на коливальний процес.

Наприклад, в механіці гармонійне коливання є рухом, якому властиві:

Прямолінійний характер;

Нерівномірність;

Переміщення фізичного тіла, яке відбувається за синусоїдальною або косинусоїдальною траєкторією, а залежно від часу.

Виходячи з даних властивостей, можна навести рівняння гармонійних коливань, що має вигляд:

x = A cos ωt або вид x = A sin ωt, де х - значення координати, А - значення амплітуди коливання, ω - коефіцієнт.

Таке рівняння гармонійних коливань є основним всім гармонійних коливань, які у кінематиці і механіці.

Показник ωt, який у цій формулі стоїть під знаком тригонометричної функції, називають фазою, і вона визначає місце розташування матеріальної точки, що коливається, в даний конкретний момент часу при заданій амплітуді. При розгляді циклічних коливань цей показник дорівнює 2л, він показує кількість не більше тимчасового циклу і позначається w. У цьому випадку рівняння гармонійних коливань містить його показник величини циклічної (кругової) частоти.

Розглянуте нами рівняння гармонійних коливань, як ми вже відзначали, може приймати різні види, Залежно від низки факторів. Наприклад, такий варіант. Щоб розглянути вільні гармонійні коливання, слід враховувати те, що їм усім властиве згасання. У різних це явище проявляється по-різному: зупинка тіла, що рухається, припинення випромінювання в електричних системах. Найпростішим прикладом, що показує зменшення коливального потенціалу, є його перетворення на теплову енергію.

Розглянуте рівняння має вигляд: d²s/dt² + 2β х ds/dt + ω²s = 0. У цій формулі: s - значення величини, що коливається, яка характеризує властивості тієї чи іншої системи, β - константа, що показує коефіцієнт загасання, ω - циклічна частота.

Використання такої формули дозволяє підходити до опису коливальних процесів у лінійних системах з єдиної точки зору, а також проводити конструювання та моделювання коливальних процесів на науково-експериментальному рівні.

Наприклад, відомо, що на заключному етапі свого прояву вже перестають бути гармонійними, тобто категорії частоти і періоду для них просто безглузді і у формулі не відображаються.

Класичним способом дослідження гармонійних коливань виступає У найпростішому вигляді він представляє систему, яку описує таке диференціальне рівняння гармонійних коливань: ds/dt + ω²s = 0. Але різноманіття коливальних процесів природним чином призводить до того, що існує велика кількість осциляторів. Перерахуємо їх основні типи:

Пружинний осцилятор - звичайний вантаж, що володіє якоюсь масою m, який підвішений на пружній пружині. Він здійснює гармонійний тип, який описується формулою F = - kx.

Фізичний осцилятор (маятник) - тверде тіло, що здійснює коливальні рухи навколо статичної осі під впливом певної сили;

- (У природі практично не зустрічається). Він являє собою ідеальну модель системи, що включає фізичне тіло, що коливається, має певну масу, яке підвішене на жорсткій невагомій нитці.

Основи теорії Максвелла для електромагнітного поля

Вихрове електричне поле

Із закону Фарадея ξ=dФ/dtвипливає, що будь-якезміна зчепленого з контуром потоку магнітної індукції призводить до виникнення електрорушійної сили індукції і внаслідок цього утворюється індукційний струм. Отже, виникнення е.р.с. електромагнітної індукції можливо і в нерухомому контурі, що знаходиться в змінному магнітному полі. Проте е.р.с. у будь-якому ланцюгу виникає лише тоді, коли в ньому на носії струму діють сторонні сили – сили неелектростатичного походження (див. § 97). Тому постає питання природі сторонніх сил у разі.

Досвід показує, що це сторонні сили пов'язані ні з тепловими, ні з хімічними процесами в контурі; їх виникнення також не можна пояснити силами Лоренца, оскільки вони на нерухомі заряди не діють. Максвел висловив гіпотезу, що всяке змінне магнітне поле збуджує в навколишньому просторі електричне поле, яке

і є причиною виникнення індукційного струму у контурі. Згідно з уявленнями Максвелла, контур, у якому з'являється е.р.с., відіграє другорядну роль, будучи свого роду лише «приладом», що виявляє це поле.

перше рівнянняМаксвелла стверджує, що зміни електричного поля породжують вихрове магнітне поле.

Друге рівнянняМаксвелла висловлює закон електромагнітної індукціїФарадея: ЕРС у будь-якому замкнутому контурі дорівнює швидкості зміни (тобто похідної за часом) магнітного потоку. Але ЕРС дорівнює дотичній складової вектора напруженості електричного поля Е, помноженої на довжину контуру. Щоб перейти до ротора, як і в першому рівнянні Максвелла, достатньо розділити ЕРС на площу контуру, а останню спрямувати до нуля, тобто взяти маленький контур, що охоплює точку простору, що розглядається (рис. 9, в). Тоді у правій частині рівняння буде не потік, а магнітна індукція, оскільки потік дорівнює індукції, помноженої площу контуру.
Отже, отримуємо: rotE = - dB/dt.
Таким чином, вихрове електричне поле породжується змінами магнітного, що подано на рис. 9,в і представлено щойно наведеною формулою.
Третє та четверте рівнянняМаксвелла мають справу з зарядами і полями, що їх породжують. Вони засновані на теоремі Гауса, яка стверджує, що потік вектора електричної індукції через будь-яку замкнуту поверхню дорівнює заряду всередині цієї поверхні.

На рівняннях Максвелла заснована ціла наука - електродинаміка, що дозволяє строгими математичними методами розв'язати багато корисних практичних завдань. Можна розрахувати, наприклад, поле випромінювання різних антен як у вільному просторі, так і поблизу Землі поверхні або біля корпусу якого-небудь літального апарату, наприклад, літака або ракети. Електродинаміка дозволяє розрахувати конструкцію хвилеводів та об'ємних резонаторів - пристроїв, що застосовуються на дуже високих частотах сантиметрового та міліметрового діапазонів хвиль, де звичайні лінії передачі та коливальні контури вже непридатні. Без електродинаміки неможливо було б розвиток радіолокації, космічного радіозв'язку, антеної техніки та багатьох інших розділів сучасної радіотехніки.

Струм зміщення

СТРУМ ЗМІШЕННЯ, величина, пропорційна швидкості зміни змінного електричного поля в діелектриці або вакуумі. Назва «струм» пов'язана з тим, що струм зміщення, як і струм провідності, породжує магнітне поле.

При побудові теорії електромагнітного поля Дж. До. Максвелл висунув гіпотезу (згодом підтверджену досвіді) у тому, що магнітне полі створюється як рухом зарядів (струмом провідності, чи навіть струмом), а й будь-яким зміною у часі електричного поля.

Поняття струм зміщення введено Максвеллом для встановлення кількісних співвідношень між електричним полем, що змінюється, і магнітним полем, що викликається ним.

Відповідно до теорії Максвелла, в ланцюзі змінного струму, що містить конденсатор, змінне електричне поле в конденсаторі в кожен момент часу створює таке магнітне поле, яке створював би струм, (названий струмом зміщення), якби він протікав між обкладинками конденсатора. З цього визначення випливає, що J см = J(тобто, чисельні значення щільності струму провідності та щільності струму зсуву рівні), і, отже, лінії щільності струму провідності всередині провідника безперервно переходять у лінії щільності струму зміщення між обкладками конденсатора. Щільність струму усунення j смхарактеризує швидкість зміни електричної індукції Dв часі:

J см = +? D/?t.

Струм зміщення не виділяє джоулевої теплоти, його головне фізична властивість- Здатність створювати в навколишньому просторі магнітне поле.

Вихрове магнітне поле створюється повним струмом, щільність якого j, Дорівнює сумі щільності струму провідності і струму зміщення? D/? t. Саме тому для величини D/?t і була введена назва струм.

Гармонічним осциляторомназивається система, яка здійснює коливання, що описуються виразом виду d 2 s/dt 2 + ω 0 2 s = 0 або

де дві точки зверху означають дворазове диференціювання за часом. Коливання гармонійного осцилятора є важливим прикладом періодичного руху і є точною або наближеною моделлю в багатьох завданнях класичної та квантової фізики. Як приклади гармонійного осцилятора можуть бути пружинний, фізичний і математичний маятники, коливальний контур (для струмів і напруг настільки малих, що можна було б елементи контуру вважати лінійними).

Гармонічні коливання

Поряд з поступальними та обертальними рухами тіл у механіці значний інтерес становлять і коливальні рухи. Механічними коливаннями називають рухи тіл, що повторюються точно (або приблизно) через однакові проміжки часу. Закон руху тіла, що здійснює коливання, визначається за допомогою деякої періодичної функції часу x = f (t). Графічне зображення цієї функції дає наочне уявлення про перебіг коливального процесу у часі.

Прикладами простих коливальних систем можуть бути вантаж на пружині або математичний маятник (рис. 2.1.1).

Механічні коливання, як і коливальні процеси будь-якої іншої фізичної природи, можуть бути вільнимиі вимушеними. Вільні коливання здійснюються під дією внутрішніх силсистеми після того, як система була виведена зі стану рівноваги. Коливання вантажу на пружині чи коливання маятника є вільними коливаннями. Коливання, що відбуваються під дією зовнішніхперіодично змінюються сил, називаються вимушеними Найпростішим видом коливального процесу є прості гармонійні коливання , які описуються рівнянням

Частота коливань fпоказує, скільки коливань відбувається за 1 с. Одиниця частоти – герц(Гц). Частота коливань fпов'язана з циклічною частотою і періодом коливань Tспіввідношеннями:

дає залежність коливальної величини Sвід часу t; це і є рівняння вільних гармонійних коливань у явному вигляді. Проте зазвичай під рівнянням коливань розуміють інший запис цього рівняння, у диференційній формі. Візьмемо для певності рівняння (1) у вигляді

двічі продиференціюємо його за часом:

Видно, що виконується таке співвідношення:

яке і називається рівнянням вільних гармонійних коливань (у диференційній формі). Рівняння (1) є розв'язком диференціального рівняння (2). Оскільки рівняння (2) - диференціальне рівняння другого порядку, необхідні дві початкові умови для отримання повного рішення (тобто визначення входять до рівняння (1) констант Aта j 0); наприклад, положення і швидкість коливальної системи при t = 0.

Складання гармонійних коливань одного напрямку та однакової частоти. Биття

Нехай відбуваються два гармонійні коливання одного напрямку та однакової частоти

Рівняння результуючого коливання матиме вигляд

Впевнімося в цьому, склавши рівняння системи (4.1)

Застосувавши теорему косінусів суми і зробивши перетворення алгебри:

Можна знайти такі величини А і ?0, щоб задовольнялися рівняння

Розглядаючи (4.3) як два рівняння з двома невідомими А та φ0, знайдемо, звівши їх у квадрат і склавши, а потім розділивши друге на перше:

Підставляючи (4.3) до (4.2), отримаємо:

Або остаточно, використовуючи теорему косінусів суми, маємо:

Тіло, беручи участь у двох гармонійних коливаннях одного напрямку і однакової частоти, здійснює також гармонійне коливання в тому ж напрямку і з тією ж частотою, що і коливання, що складаються. Амплітуда результуючого коливання залежить від різниці фаз (φ2-φ1) коливань, що згладжуються.

Залежно від різниці фаз (φ2-φ1):

1) (φ2-φ1) = ±2mπ (m=0, 1, 2, …), тоді A= А1+А2, тобто амплітуда результуючого коливання А дорівнює сумі амплітуд коливань, що складаються;

2) (φ2-φ1) = ±(2m+1)π (m=0, 1, 2, …), тоді A= |А1-А2|, тобто амплітуда результуючого коливання дорівнює різниці амплітуд коливань, що складаються

Періодичні зміни амплітуди коливання, що виникають при складанні двох гармонійних коливань із близькими частотами, називаються биттям.

Нехай два коливання мало відрізняються за частотою. Тоді амплітуди коливань, що складаються, рівні А, а частоти рівні ω і ω+Δω, причому Δω набагато менше ω. Початок відліку виберемо так, щоб початкові фази обох коливань дорівнювали нулю:

Вирішимо систему

Рішення системи:

Результуюче коливання можна розглядати як гармонійне із частотою ω, амплітуда А, якого змінюється за наступним періодичному закону:

Частота зміни А в два рази більша за частоту зміни косинуса. Частота биття дорівнює різниці частот коливань, що складаються: ωб = Δω

Період биття:

Визначення частоти тону (звуку певної висоти биття еталонним і коливаннями, що вимірюються - найбільш широко застосовується на метод порівняння вимірюваної величини з еталонною. Метод биття використовується для налаштування музичних інструментів, аналізу слуху тощо.

Подібна інформація.

Рівняння гармонійного коливання

Рівняння гармонійного коливання встановлює залежність координати тіла від часу

Графік косинуса на початковий момент має максимальне значення, а графік синуса має у початковий момент нульове значення. Якщо коливання починаємо досліджувати із положення рівноваги, то коливання повторюватиме синусоїду. Якщо коливання починаємо розглядати з максимального відхилення, то коливання опише косинус. Або таке коливання можна описати формулою синуса з початковою фазою.

Зміна швидкості та прискорення при гармонійному коливанні

Не лише координата тіла змінюється згодом згідно із законом синуса чи косинуса. Але такі величини, як сила , швидкість і прискорення , теж змінюються аналогічно. Сила і прискорення максимальні, коли тіло, що коливається, знаходиться в крайніх положеннях, де зсув максимально, і рівні нулю, коли тіло проходить через положення рівноваги. Швидкість, навпаки, у крайніх положеннях дорівнює нулю, а при проходженні тілом положення рівноваги досягає максимального значення.

Якщо коливання описувати згідно із законом косинуса

Якщо коливання описувати згідно із законом синуса

Максимальні значення швидкості та прискорення

Проаналізувавши рівняння залежності v(t) і a(t), можна здогадатися, що максимальні значення швидкість і прискорення набувають у тому випадку, коли тригонометричний множник дорівнює 1 або -1. Визначаються за формулою

Ми розглянули кілька фізично різних систем, і переконалися, що рівняння руху наводяться до однієї й тієї формі

Відмінності між фізичними системами виявляються лише у різному визначенні величини і в різному фізичному сенсі змінної x: це може бути координата, кут, заряд, струм і т. д. Зазначимо, що при цьому, як випливає із самої структури рівняння (1.18), величина завжди має розмірність зворотного часу.

Рівняння (1.18) описує так звані гармонійні коливання.

Рівняння гармонійних коливань (1.18) є лінійним диференціальним рівнянням другого порядку (оскільки воно містить другу похідну від змінної) x). Лінійність рівняння означає, що

якщо якась функція x(t)є рішенням цього рівняння, то функція Cx(t)також буде його рішенням ( C- Довільна постійна);

якщо функції x 1 (t)і x 2 (t)є рішеннями цього рівняння, їх сума x 1 (t) + x 2 (t)також буде вирішенням того ж рівняння.

Доведено також математичну теорему, згідно з якою рівняння другого порядку має два незалежні рішення. Всі інші рішення, згідно з властивостями лінійності, можуть бути отримані як їх лінійні комбінації. Безпосереднім диференціюванням легко перевірити, чи незалежні функції задовольняють рівняння (1.18). Отже, загальне рішення цього рівняння має вигляд:

де C 1 ,C 2- Довільні постійні. Це рішення може бути подане і в іншому вигляді. Введемо величину

і визначимо кут співвідношеннями:

Тоді загальне рішення (1.19) записується як

Згідно з формулами тригонометрії, вираз у дужках дорівнює

Остаточно приходимо до загальному рішенню рівняння гармонійних коливаньу вигляді:

Невід'ємна величина Aназивається амплітудою коливання, - початковою фазою коливання. Весь аргумент косинуса – комбінація – називається фазою коливання.

Вирази (1.19) і (1.23) цілком еквівалентні, тому ми можемо користуватися будь-яким з них, виходячи з міркувань простоти. Обидва рішення є періодичними функціями часу. Справді, синус та косинус періодичні з періодом . Тому різні стани системи, що здійснює гармонічні коливання, повторюються через проміжок часу t*, за який фаза коливання отримує приріст, кратне :

Звідси слідує що

Найменша з цих часів

називається періодом коливань (рис. 1.8), а - його круговий (циклічний) частотою.

Мал. 1.8.

Використовують також частоту вагань

Відповідно, кругова частота дорівнює числу коливань за секунд.

Отже, якщо система в момент часу tхарактеризується значенням змінної x(t),те ж саме значення, змінна буде мати через проміжок часу (рис.1.9), тобто

Це значення, природно, повториться через час 2T, ЗTі т.д.

Мал. 1.9. Період коливань

До загального рішення входять дві довільні постійні ( C 1 , C 2або A, a), значення яких повинні визначатися двома початковими умовами. Зазвичай (хоч і не обов'язково) їхню роль відіграють початкові значення змінної x(0)та її похідною.

Наведемо приклад. Нехай рішення (1.19) рівняння гармонійних коливань визначає рух пружинного маятника. Значення довільних постійних залежить від способу, яким ми вивели маятник зі стану рівноваги. Наприклад, ми відтягли пружину на відстань і відпустили кульку без початкової швидкості. В цьому випадку

Підставляючи t = 0в (1.19), знаходимо значення постійної З 2

Рішення, таким чином, має вигляд:

Швидкість вантажу знаходимо диференціюванням за часом

Підставляючи сюди t = 0, знаходимо постійну З 1:

Остаточно

Порівнюючи з (1.23), знаходимо, що - це амплітуда коливань, яке початкова фаза дорівнює нулю: .

Виведемо тепер маятник із рівноваги іншим способом. Вдаримо по вантажу, так що він придбає початкову швидкість, але практично не зміститься за час удару. Маємо тоді інші початкові умови:

наше рішення має вигляд

Швидкість вантажу змінюватиметься згідно із законом:

Підставимо сюди:

Гармонічне коливання - явище періодичного зміни будь-якої величини, у якому залежність від аргументу має характер функції синуса чи косинуса. Наприклад, гармонійно коливається величина, що змінюється у часі таким чином:

де х - значення величини, що змінюється, t - час, інші параметри - постійні: А - амплітуда коливань, ω - циклічна частота коливань, - повна фаза коливань, - початкова фаза коливань.

Узагальнене гармонійне коливання у диференціальному вигляді

(Будь-яке нетривіальне рішення цього диференціального рівняння - є гармонійне коливання з циклічною частотою)

Види коливань

Вільні коливання відбуваються під впливом внутрішніх сил системи після того, як система була виведена із положення рівноваги. Щоб вільні коливання були гармонійними, необхідно, щоб коливальна система була лінійною (описувалася лінійними рівняннями руху) і в ній була відсутня диссипація енергії (остання викликала б згасання).

Вимушені коливання відбуваються під впливом зовнішньої періодичної сили. Щоб вони були гармонійними, достатньо, щоб коливальна система була лінійною (описувалася лінійними рівняннями руху), а зовнішня сила сама змінювалася згодом як гармонійне коливання (тобто щоб залежність від часу цієї сили була синусоїдальною).

Рівняння гармонійних коливань

Рівняння (1)

дає залежність коливається величини S від часу t; це і є рівняння вільних гармонійних коливань у явному вигляді. Проте зазвичай під рівнянням коливань розуміють інший запис цього рівняння, у диференційній формі. Візьмемо для певності рівняння (1) у вигляді

двічі продиференціюємо його за часом:

Видно, що виконується таке співвідношення:

яке і називається рівнянням вільних гармонійних коливань (у диференційній формі). Рівняння (1) є розв'язком диференціального рівняння (2). Оскільки рівняння (2) - диференціальне рівняння другого порядку, необхідні дві початкові умови для отримання повного рішення (тобто визначення констант A і  , що входять до рівняння (1)); наприклад, положення та швидкість коливальної системи при t = 0.

Математичний маятник - осцилятор, що є механічною системою, що складається з матеріальної точки, що знаходиться на невагомій нерозтяжній нитці або на невагомому стрижні в однорідному полі сил тяжіння. Період малих власних коливань математичного маятника довжини l нерухомо підвішеного в однорідному полі тяжкості із прискоренням вільного падіння g дорівнює

і не залежить від амплітуди та маси маятника.

Фізичний маятник - осцилятор, що представляє собою тверде тіло, що здійснює коливання в полі будь-яких сил щодо точки, що не є центром мас цього тіла, або нерухомої осі, перпендикулярної до напряму дії сил і не проходить через центр мас цього тіла.